Vos solutions à la quadrature du cube, l’énigme maths du « Monde » n° 22

A la veille des Jeux olympiques, nous clôturions la première saison des énigmes mathématiques sur le problème ouvert de la quadrature du cube. Il s’agissait de découper un cube creux en plusieurs pièces, de façon à pouvoir reconstituer un carré. Je proposais en particulier de chercher à réaliser ce découpage avec le moins de pièces possibles.

En lisant toutes vos solutions, il m’est toutefois apparu qu’il était dommage de ne publier que les propositions avec le minimum de pièces, car vous avez su imaginer une diversité de méthodes particulièrement étonnante. Voici une petite revue des différents stratagèmes permettant de transformer un cube en carré.

Commençons par une idée de Rault Stanislas qui m’a beaucoup amusé. Sa méthode utilise le découpage de la mitre découvert en début d’année par Vesa Timonen et dont il était question dans l’énoncé de l’énigme. En coupant chaque face du carré en deux par la diagonale, on obtient douze triangles, avec lesquels il est facile de reproduire la forme de la mitre. Il suffit alors d’y superposer le découpage de Timonen pour former un carré.

Faire des maths, c’est souvent trouver le moyen de se ramener à une situation qu’on connaît déjà ! Cette démonstration illustre parfaitement cet adage.

A la recherche d’une quadrature, les symétries peuvent également nous servir de guide. Le carré et le cube possèdent plusieurs axes (ou plans) de symétries et sont invariants par des rotations d’un quart de tour. Il est légitime de tenter de préserver certaines de ces symétries (ou au moins des morceaux de symétrie) dans le découpage, tant pour des raisons pratiques que par recherche d’élégance. Voici deux solutions dues à Pascal Dubois (A) et à Francis Jamet (B).

Dans cette catégorie, voici également la quadrature en huit pièces mise au jour par Christiane Marion. Elle possède un centre de symétrie et est presque invariante par rotation d’un quart de tour (on pourrait être tenté de la découper un peu plus, pour concrétiser cette invariance).

Dans sa solution, Pascal Dubois mentionne l’existence d’une méthode datant du X^e siècle et découverte par le mathématicien persan Abu l-Wafa pour former un grand carré par le découpage de trois petits carrés identiques. Placez l’un des trois carrés au centre, découpez les deux autres selon une diagonale et placez-les autour, comme sur la figure ci-dessous. Il suffit alors de découper les morceaux qui dépassent et de les replacer dans les creux pour obtenir le grand carré.

Comme il est possible de former trois carrés identiques avec les six faces d’un cube en les coupant en diagonale, on peut leur appliquer la méthode d’Abu l-Wafa.

Plusieurs participants m’ont proposé des découpages dont toutes les pièces sont rectangulaires ou dont toutes les découpes ne suivent que deux directions perpendiculaires. La vérification de ces solutions m’a donné du fil à retordre, mais malheureusement toutes se sont révélées légèrement inexactes. Personne n’a trouvé, pour l’instant, de solution exacte dont toutes les pièces sont rectangulaires et, si je devais faire une conjecture, je pense qu’une telle quadrature est impossible. Je ne demande, bien sûr, qu’à être contredit.

Notons toutefois une jolie solution en six pièces proposée par Daniel Collignon et qui ne compte qu’un seul trait de découpe en diagonale à partir du patron d’un cube.

La grande majorité des réponses que j’ai reçues ont d’ailleurs adopté cette stratégie consistant à d’abord déplier le cube en un patron, avant de découper ce dernier. Le choix du bon patron (il en existe plusieurs) pouvait s’avérer crucial pour minimiser le nombre de pièces. En voici deux autres différents par Daniel Dubuisson (A) et Jean-François Le Garrec (B).

La solution la plus populaire, en cinq pièces, fut découverte indépendamment par huit personnes. Elle commence par la formation d’un rectangle 2 × 3 qui est ensuite découpé et glissé selon une diagonale.

Je dois avouer que c’est également la solution minimale à laquelle j’étais parvenu. Une autre option en cinq pièces, découverte par Laurent Constantin, utilise la même technique, mais dans l’autre sens. Observez le changement de disposition des trois plus petites pièces afin de s’adapter à la largeur du carré.

Il ne me reste maintenant plus qu’à vous présenter les solutions minimales. Deux options en quatre pièces ont été découvertes ! La première par Jérôme Petitjean (A) et la seconde par Jérôme Roche (B). Toutes deux partent du même patron de cube.

Notez que ces deux découpages ont la propriété d’inverser exactement les bords intérieurs et extérieurs : tout trait de découpe qui est à l’intérieur du patron se retrouve sur le bord du carré et inversement. Si l’on considère que le cube de départ a un côté de longueur 1, alors la surface totale du cube est égale à 6 et le carré final doit donc avoir un côté de longueur √6. Ces deux découpages possèdent un grand trait de coupe mesurant exactement √6 et deux petits traits de coupe dont la somme vaut √6.

Une façon d’aboutir à ce type de solution consiste à paver le plan avec le patron de cube et d’y superposer un pavage carré de côté √6 incliné.

L’inclinaison du pavage carré par rapport au patron doit se faire de façon que la hauteur verticale et la largeur horizontale des carrés soient égales à 2. De cette façon, patrons et cubes restent superposés de la même façon à tout endroit du pavage.

A ce jour, aucun découpage en moins de quatre pièces n’a été découvert… mais aucune preuve que ce n’est pas possible n’a été établie.

Voilà où en est la question de la quadrature du cube à l’heure où j’écris ces lignes. L’adresse mail laquadratureducube@micmaths.fr reste ouverte pour quiconque parviendrait à de nouveaux résultats et je ne manquerai pas de vous tenir au courant des avancées futures.